В школе проводился турнир по настольному теннису, в котором играли $$35$$ участников. Турнир закончился, когда еще не все участники сыграли друг с другом. При этом оказалось, что среди любых четырех участников турнира можно было выбрать одного, сыгравшего с остальными тремя. Каким могло быть наименьшее число участников, каждый из которых сыграл со всеми остальными участниками турнира?

Не уверен в ответе, но у меня получилось - 1.

Возьмём к примеру любого участника. Пусть он с каждым из участников турнира играл.

Теперь рассмотрим любых 4-х участников турнира, среди которых есть указанный выше участник. Как мы уже ранее указали, он единственный среди этой четвёрки, который играл с остальными тремя. Получается, что если взять любого другого участника из оставшейся тройки, то найдётся какой-нибудь участник из этой тройки, с которым он не играл, и соответственно такого участника уже нельзя считать сыгравшим с любым другим участником турнира.

Отсюда следует, что только один из участников турнира мог сыграть со всеми остальными участниками турнира.