В партии 30 деталей, из них 5 нестандартных. Наугад взято 4 детали. Какова вероятность того, что среди взятых деталей более двух стандартных?

Всего деталей 30. Стандартных 25, Нестандартных 5.

1) Вероятность того, что 1-й раз взята стандартная деталь 25/30 = 5/6

Вероятность того, что 2-й раз взята стандартная деталь при условии, что 1-й раз тоже была стандартная деталь (25 - 1) / (30 - 1) = 24/29

Вероятность того, что 3-й раз взята стандартная деталь при условии, что 1-й и 2-й раз тоже была стандартная деталь (24 - 1) / (29 - 1) = 23/28

Вероятность того, что 4-й раз взята стандартная деталь при условии, что 1-й, 2-й и 3-й раз тоже была стандартная деталь (23 - 1) / (28 - 1) = 22/27

Вероятность того, что все вышеописанные события наступили, равна произведению вероятностей:

Р (4 стан) = 5/6 · 24 / 29 · 23/28 · 22/27 = (5·22·23) / (7·27·29)

2) Вероятность того, что 1-я, 2-я и 3-я детали будет стандартными, а 4-я нестандартной

Р₁ (3 стан, 1 нестан) = 5/6 · 24 / 29 · 23/28 · 5/27 = (23·25) / (7·27·29)

Вероятность того, что 1-я, 2-я и 4-я детали будет стандартными, а 3-я нестандартной будут такой же

Р₂ (3 стан, 1 нестан) = 5/6 · 24 / 29 · 5/28 · 23/27 = (23·25) / (7·27·29)

То же самое можно сказать о вероятности того, что 1-я, 3-я и 4-я детали будут стандартными, а 2-я нестандартной. И такая же вероятность того, что 1-я деталь будет нестандартной. а 2-я, 3-я, и 4-я - стандартными.

А общая вероятность или 1-го случая, или 2-го, или 3 - го, или 4-го равна сумме соответствующих вероятностей, т. е.

Р (3 стан, 1 нестан) = 4· (23·25) / (7·27·29) = (23·100) / (7·27·29)

Вероятность того, что будет иметь место 1) или 2) случай равна сумме полученных вероятностей

Р (3 стан или 4 станд) = (5·22·23) / (7·27·29) + (23·100) / (7·27·29) =

= (2530 + 2300) / 5481 = 4830 / 5481 ≈ 0,881