Шесть футбольных команд сыграли однокруговой турнир и набрали соответственно 13, 10, 7, 5, 3 и 2 очка. Сколько ничьих было в турнире, если за победу команде даётся 3 очка, за ничью 1 очко и за поражение 0 очков? В однокруговом турнире каждая команда с каждой играет ровно один матч.

Всего шесть команд, каждая играет с каждой по одному разу, итого для каждой команды по 5 матчей, а всего матчей было 6*5 (при этом мы посчитали количество матчей дважды, так как посчитали обе команды-участницы матча), итого всего было 6*5:2=15 матчей. Если бы результаты всех игр были бы победа-проигрыш, то общее число очков набранных командами было бы 15 * (3+0) = 45. Но очков было набрано13+10+7+5+3+2=40, так как количевство очков за матчи ничья-ничья 1+1=2 - четное число, и общая сумма очков четное, то количевство матчей победа-проигрыш - четное число (либо 0, либо 2, либо 4, либо 6, либо 8, либо 10, либо 12, либо 14)

рассмотрим варианты

0 побед-проигрыш, 15 ничьих это 15*1=15 очков, не подходит

2 победы-проигрыша, 13 ничьих это 2*3+13*2=32 очков, не подходит

4 победы-проигрыша, 11 ничьх это 4*3+11*2=34 очка, не подходит

6 побед-проигрышей, 9 ничьих это 6*3+9*2=36 очков, не подходит

8 побед-проигрышей, 7 ничьих это 8*3+7*2=38 очков, не подходит

10 побед-проигрышей, 5 ничьих это 10*3+5*2=40 очков, подходит

12 побед-проигрышей, 3 ничьих это 12*3+3*2=42 очка, не подходит

14 побед-проигрышей, 1 ничья это 14*3+1*2=44 очка, не подходит

итого было 10-побед-проигрышей, 5 ничьих

ответ: 5 ничьих