Доказать что (5^5x+1) + (4^5x+2) + (3^5x) делится на 11, при любом целом, положительном x

(^ значит в степени)

Попробуем доказать по индукции.

5^ (5x+1) + 4^ (5x+2) + 3^ (5x) = 5*5^ (5x) + 16*4^ (5x) + 3^ (5x)

При x = 0 будет 5*5^0 + 16*5^0 + 3^0 = 5 + 16 + 1 = 22 = 2*11 - делится на 11.

Пусть при каком-то x это верно, докажем, что это верно и при x+1

5^ (5x+5+1) + 4^ (5x+5+2) + 3^ (5x+5) = 5^ (5x+6) + 4^ (5x+7) + 3^ (5x+5) =

= 5^6*5^ (5x) + 4^7*4^ (5x) + 3^5*3^ (5x) = 15625*5^ (5x) + 16384*4^ (5x) + 243*3^ (5x)

Вычтем из него нашу сумму 5*5^ (5x) + 16*4^ (5x) + 3^ (5x), которая делится на 11,

и проверим, делится ли на 11 разность.

15625*5^ (5x) + 16384*4^ (5x) + 243*3^ (5x) - 5*5^ (5x) - 16*4^ (5x) - 3^ (5x) =

= 15620*5^ (5x) + 16368*4^ (5x) + 242*3^ (5x) =

= 11*1420*5^ (5x) + 11*1488*4^ (5x) + 11*22*3^ (5x)

Все три коэффициента делятся на 11, значит, и разность делится на 11, и

следующий член последовательности 5^ (5x+6) + 4^ (5x+7) + 3^ (5x+5) делится на 11.