Надо доказать что, 3x^2-2xy+y^2+8x+4y+22 больше или равно 0

Решаешь как квадратное относительно х, получаешь D=-8 (y+5) ^2>=0 при у=-5. Подставляешь у=-5, получаешь 3 (x^2+6x+9), = >x=-3. Есть еще - 2 ху, = > ищем (ax+by) ^2, причем известно, что х=-3, у=-5, = > выделяем (5x-3y) ^2:

(5x-3y) ^2=25x^2-30xy+9y^2.

В условии есть - 2 ху, а у нас - 30 ху, = > умножаем условие на 15.

Синтез:

Умножим данное неравенство на 15:

45x^2+15y^2+60y-30xy+330.

Выделяем 25x^2-30xy+9y^2:

(25x^2-30xy+9y^2) + (20x^2+120x+180) + (6y^2+60y+150) = = (5x-3y) ^2+20 (x+3) ^2+6 (y+5) ^2>=0 - очевидно. Доказано!