Найдите, при какой значении a уравнение х² + (а+4) x-a+16=0 имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Пусть эти корни равны t и 2t. Тогда по теореме Виета

t + 2t = - a - 4

t * 2t = - a + 16

Из первого уравнения t = - (a + 4) / 3. Подставляем значение t во второе уравнение.

2/9 * (a + 4) ^2 = - a + 16

a^2 + 8a + 16 = - 9a/2 + 72

2a^2 + 25 a - 112 = 0

D = 25^2 + 4 * 2 * 112 = 625 + 896 = 1521 = 39

a = (-25 + - 39) / 4

a = 7/2 или a = - 16.

Проверяем:

a = 7/2: уравнение x^2 + 15/2 x + 25/2 = 0 имеет два отрицательных корня, не подходит

a = - 16: уравнение x^2 - 12x + 32 = 0 имеет корни 4 и 8, подходит.

Ответ. a = - 16.