В треугольнике ABC площадью (270 Корней из 3) вписана окружность, которая касается сторон ВС и АС в точках M и Н. Найдите периметр треугольника, если BМ: МC = 3:5 и AН: НC = 2:1.

Обозначим отрезки BМ и МC как 3 х и 5 х.

По свойству равенства двух касательных к окружности из одной точки НС = 5 х, а АН = 10 х (в 2 раза больше).

Аналогично ВК = 3 х, а АК = 10 х.

Получили относительные значения длин сторон треугольника:

а = ВС = 8 х, в = АС = 15 х, с = АВ = 13 х.

Найдём по формуле Герона площадь подобного треугольника со сторонами 8, 15 и 13. Р = 36, р = Р/2 = 36/2 = 18.

S = √ (18*10*3*5) = √ 2700 = 30 √3 ≈ 51,96152 кв. ед.

Отношение площади треугольника АВС к подобному равно:

х ² = (270√3) / (30√3) = 9.

Отсюда х = √9 = 3. Использовано свойство подобных фигур - они относятся как квадраты сходственных сторон.

Теперь находим периметр треугольника АВС:

Р = 8*3 + 15*3 + 13*3 = 24 + 45 + 39 = 108.