Cos3x+4cos^2x=0

В ответ записать сумму решений принадлежащих отрезку (0; pi)

Cos (3x) + 4cos (x) ^2=0

cos (3x) = 4cos (x) ^3-3cos (x), поэтому

4cos (x) ^3-3cos (x) + 4cos (x) ^2=0

cos (x) * (4cos (x) ^2+4cos (x) - 3) = 0

Отсюда получим совокупность уравнений:

cos (x) = 0,

4cos (x) ^2+4cos (x) - 3=0.

Решим каждое их уравнений:

1) cos (x) = 0

x=π/2+πn, n∈Z

2) 4cos (x) ^2+4cos (x) - 3=0

Пусть cos (x) = t, |t|<=1

Тогда получим квадратное уравнение относительно t:

4t^2+4t-3=0

D=4^2-4*4 * (-3) = 64

t1,2 = (-4 + - √64) / (2*4) = (-4+-8) / 8 = (-1+-2) / 2

t1 = (-1-2) / 2=-1.5 - не удовлетворяет наложенным на t условиям

t2 = (-1+2) / 2=1/2=0.5

Отсюда cos (x) = 0.5

x=+-π/3+2πk, k∈Z

Ответ: π/2+πn, n∈Z, + - π/3+2πk, k∈Z.