Докажи, что 2 в 55 степени + 1 кратно 33.

Надо доказать, что 2⁵⁵ + 1 делится на 32

33 = 32 + 1 = 2⁵ + 1

Пусть 2⁵ = х,

тогда

2⁵⁵ + 1 = х¹¹ + 1

2⁵ + 1 = х + 1

Разделим х¹¹ + 1 на х + 1

(х¹¹ + 1) : (х + 1) = х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х

Таким образом, (х¹¹ + 1) = (х + 1) · (х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х)

или

(2⁵⁵ + 1) = (2⁵ + 1) · (2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

или

(2⁵⁵ + 1) = 33· (2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

и, окончательно

(2⁵⁵ + 1) : 33 = (2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

Мы видим, что при делении (2⁵⁵ + 1) : 33 получается целое число

(2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

т. е (2⁵⁵ + 1) делится на 33, что и требовалось доказать