Найти экстремум заданной функции:

z=x^2-3xy-y^2-4x-6y+5

Необходимое условие экстремума: обе производных по переменным должны быть равны 0.

{ dz/dx = 2x - 3y - 4 = 0

{ dz/dy = - 3x - 2y - 6 = 0

2 уравнение умножаем на - 1

{ 2x - 3y - 4 = 0

{ 3x + 2y + 6 = 0

Умножаем 1 уравнение на 2, а 2 уравнение на 3

{ 4x - 6y - 8 = 0

{ 9x + 6y + 18 = 0

Складываем уравнения

13x + 10 = 0

x = - 10/13

y = (2x - 4) / 3 = (-20/13 - 4) / 3 = (-20 - 52) / 39 = - 72/39 = - 24/13

z (-10/13; - 24/13) = 100/169 - 3*10*24/169 - 576/169 + 40/13 + 144/13 + 5 =

= (100 - 720 - 576) / 169 + 184/13 + 5 = - 1196/169 + 184/13 + 5 =

= - 92/13 + 184/13 + 5 = 92/13 + 5 = (92 + 65) / 13 = 157/13

Достаточное условие: найдем вторые производные.

A = d2z/dx^2 = 2 > 0; B = d2z / (dxdy) = - 3; C = d2z/dy^2 = - 2

D = AC - B^2 = 2 (-2) - (-3) ^2 = - 4 - 9 = - 13 < 0

Так как D < 0, в этой точке экстремума нет. Это седловая точка.

Ответ: Экстремумов нет