Зависимость цены р от выпуска продукции х имеет вид: р = 100 - 0,9x. Функция издержек имеет вид: f (x) = 0,032x3. Прибыль от реализации продукции определяется как разность между выручкой рх и издержками f (x). Найти значение выпуска, при котором прибыль будет наибольшей, если: а) 5 ≤ х ≤10; б) 10 ≤ х ≤ 25.

Прибыль П = p*x - f (x) = x (100-0,9x) - 0,032*x^3 = - 0,032*x^3-0,9x^2+100x

Найдем значения на концах отрезков:

П (5) = - 0,032*125 - 0,9*25 + 100*5 = - 4 - 22,5 + 500 = 473,5

П (10) = - 0,032*1000 - 0,9*100 + 100*10 = - 32 - 90 + 1000 = 878

П (25) = - 0,032*15625 - 0,9*625 + 100*25 = - 500 - 562,5 + 2500 = 1437,5

Найдем производную функции и приравняем ее к 0

П ' = - 0,032*3x^2 - 0,9*2x + 100 = - 0,096x^2 - 1,8x + 100 = 0

D/4 = (-0,9) ^2 - (-0,096) * 100 = 0,81 + 9,6 = 10,41 ~ (3,23) ^2

x1 = (0,9 - 3,23) / (-0,096) ~ 24,27

П (24,27) ~ 1439,4

x2 = (0,9 + 3,23) / (-0,096) = - 4,13/0,096 < 0 - не подходит

Ответ: а) П (10) = 878; б) П (~24,27) ~ 1439,4