Если из натур. числа N вычесть сумму его цифр, то получится 2016. Найдите сумму всех таких натуральных N.

2028

2+0+2+8=12

2028-12=2016

Сначала докажем, что это число четырехзначное. Если оно содержит меньше 4-х цифр, то при вычитании из него суммы его цифр оно станет еще меньше, чем было. А было оно меньше четырехзначного.

Пусть оно содержит хотя бы 5 цифр. Представим число в виде 10000a+1000b+100c+10d+e. Вычтем a+b+c+d+e и получим 9999a+999b+99c+9d. Так как a>=1, то 9999a+999b+99c+9d>=9999>2016.

Следовательно, у N 4 цифры.

Пусть N=1000a+100b+10c+d.

a, b, c, d - это цифры четырехзначного числа:

1<=a<=9, 0<=b<=9, 0<=c<=9, 0<=d<=9

Вычтем a+b+c+d и получим 999a+99b+9c=2016.

111a+11b+c=224

Пусть a=1. Тогда 11b+c=113. При наибольшем возможном b=9 c=113-11*9=14 - не подходит под ограничения.

Пусть a>=3. Тогда 111a+11b+c>=333>224 - не подходит

Тогда единственным вариантом для a является 2.

Отсюда 11b+c=224-2*111=2

Единственным решением этого уравнения при заданных условиях и в целых числах является b=0, c=2.

Это значит, что N=202d, где d - любая цифра от 0 до 9.

Сумма всех таких N равна (2020+2029) / 2*10=20245