Найти все натуральные n, при которых число (3n-1) / (n+1) является целым

N не равно 1, т. к. знаменатель не может быть равным нулю

Пусть k - целое значение выражения, т. е.

(3n-1) / (n+1) = k

Тогда

3n-1=k (n+1) выразим n

n (3-k) = k+1

n = (k+1) / (3-k)

Подставляем вместо k числа

k=-1 = > n = 0 (не подходит, н натуральное)

k=0 n=1/3 (не подходит, н натуральное)

k=1 n=1 (не подходит, иначе в знаменателе ноль)

k=2 = > n=3,

k=3=> n не существует,

k=4 = > n=-5/2 - (не подходит, н натуральное)

Далее n будет только уменьшаться. До k=-1 n также является отрицательной.

Ответ: n=3

Из условия следует, что

3n-1 = k (n+1), где к - целое число и к>0

3n - 1 = kn + k

3n-kn = k+1

n (3-k) = k+1

n = (k+1) / (3-k), 3-к≠0 ⇒ к≠3

получим, что к = 1 и к=2,