Сколько существует различных натуральных значений n, которых при функция

f (x) = cosnx⋅sin10xn

имеет период 6π?

Для любого действительного x должно выполняться равенство f (x+6π) = f (x). То есть c osn (x+6π) ⋅sin 10 (x+6π) n = cosnx⋅sin 10x n. Заметим, что cosn (x+6π) = cos (nx+6πn) = cosnx. Значит, sin 10 (x+6π) n = sin 10x n по крайней мере при тех x, для которых cosnx≠0. Заметим, что sin 10 (x+6π) n = sin (10x n + 60π n). В силу произвольности x, из равенства sin (10x n + 60π n) = sin 10x n следует, что при некотором целом k 60π n = 2πk, то есть 30n - целое число. Учитывая натуральность числа n получаем, что это возможно только при n=1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.