Даны два треугольника. Каждый угол первого треугольника равен разности каких-то двух углов второго. Докажите, что первый треугольник - равнобедренный или прямоугольный.

Пусть углы первого треугольника х, у, z, а углы второго - а, b, c. Тогда

х+у+z=180° и а+b+c=180°. Если в первом треугольнике два угла равны разности одних и тех же углов другого треугольника, то эти два угла первого треугольника, очевидно, равны, т. е. треугольник - равнобедренный. Если же в первом треугольнике все углы равны разным разностям углов другого треугольника, то в предположении, что a≤b≤c, получаем

x=b-a,

у=с-b,

z=c-a,

и складывая эти равенства, x+y+z=2 (c-a) = 2z=180°, т. е. z=90°, что и требовалось.