Найти все натуральные n, такие что n-2, n, n+2 простые числа. С доказательством.

Среди чисел n-2, n, n+2 - ровно одно делится на 3, так как:

Возможные остатки при делении на 3: 0, 1 и 2.

Если n дает остаток 0 при делении на 3, то n-2 дает остаток 1, а n+2 - 2. Только n делится на 3

Если n дает остаток 1 при делении на 3, то n+2 дает остаток 2+1=3≡0, то есть n+2 делится на 3, n-2 дает остаток 2.

Если n дает остаток 2, то n-2 делится на 3, а n+2 дает остаток 1.

Существует только одно простое число, которое делится на 3 - это 3.

Переберем все возможные варианты:

n-2=3, n=5, n+2=7 - подходит

n=3, n-2=1, n+2=5 - не подходит (1 - не простое число)

n+2=3, n=1, n-2=-1 - не подходит (-1 - не натуральное (а значит и не простое) число

Значит только n=5 обладает данным свойством