Даны координаты треугольника ABC: A (-7; 5), B (8; -11), C (13; 1) / Требуется:

1) Вычислить сторону BC

2) Составить уравнение стороны BC

3) Вычислить длину высоты, проведенной из вершины A

4) Составить уравнение этой высоты

Даны вершины A (-7; 5), B (8; -11), C (13; 1).

1) Вычислить сторону BC:

|BC| = √ ((13-8) ² + (1 - (-11)) ²) = √ (25+144) = √169 = 13.

2) Составить уравнение стороны BC.

ВС: (х-8) / (13-8) = (у+11) / (1+11),

(х-8) / 5 = (у+11) / 12 это каноническое уравнение,

12 х - 96 = 5 у + 55,

12 х - 5 у - 151 = 0 это уравнение общего вида,

у = 2,4 х - 30,2 это уравнение с коэффициентом.

3) Вычислить длину высоты, проведенной из вершины A.

Вариант 1. Находим длины сторон.

АВ = √ ((Хв-Ха) ² + (Ув-Уа) ²) = √481 ≈ 21,931712,

BC = √ ((Хc-Хв) ² + (Ус-Ув) ²) = √169 = 13,

AC = √ ((Хc-Хa) ² + (Ус-Уa) ²) = √416 ≈ 20,396078.

Находим площадь треугольника по формуле Герона.

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)) p = (a+b+c) / 2.

Полупериметр р = 27,66390.

Подставив значения, получаем S = 130.

Вариант 2. Используем формулу:

S = (1/2) * | (Хв-Ха) * (Ус-Уа) - (Хс-Ха) * (Ув-Уа) | = 130.

Высота АН = 2S/ВС = (2*130) / 13 = 20.

4) Составить уравнение высоты из вершины А.

Уравнение этой высоты как перпендикуляра к ВС имеет коэффициент к = - 1/к (ВС) = - 1/2,4 = - 5/12 = - 0,416667.

Уравнение АН: у = (-5/12) * х + в.

Для определения коэффициента В подставим в это уравнение координаты точки А:

5 = (-5/12) * (-7) + в.

в = 5 - (35/12) = (60 - 35) / 12 = 25/12.

Уравнение АН: у = (-5/12) * х + (25/12).

у = - 0,416667 х + 2,083333

или в общем виде:

5 Х + 12 У - 25 = 0.