Дан треугольник АВС, АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. На стороне ВС взята точка К так, что ВК =. На стороне АС взята точка М так что СМ =. Найти расстояние d между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников АВК и АКМ. В ответе указать число равное 4d.

Треугольник ABC ABC является остроугольным, так как 62 < 42 + 52 62 < 42 + 52. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту A A1 A A1, и пусть она делит отрезок BC BC на части длиной xx и yy. С одной стороны, x+y=5 x+y=5. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам AC A1 AC A1 и AB A1 AB A1 с общей высотой, 62 - x2 = A A21 = 42 - y2 62 - x2 = A A12 = 42 - y2. Следовательно, x2 - y2 = 20 x2 - y2 = 20, то есть x-y=20/5=4 x-y=20/5=4, откуда x=9/2 x=9/2 и y=1/2 y=1/2. Последнее означает, что K = A1 K = A1, то есть треугольник ABK ABK прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы AB AB. Теперь опустим высоту B B1 B B1, и тем же методом найдём C B1 = 15/4 C B1 = 15/4, B1 A=9/4 B1 A=9/4. Из этого следует, что M B1 = 15/4-27/8=3/8 M B1 = 15/4-27/8=3/8, что составляет 1/10 1/10 от C B1 C B1. Точно так же, KB KB составляет 1/10 1/10 от CB CB. Из этого можно сделать вывод, что прямые KM KM и B B1 B B1 параллельны, а потому треугольник AKM AKM также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы AK AK. Таким образом, dd есть длина средней линии треугольника ABK ABK, откуда d=BK/2=1/4 d=BK/2=1/4.