Прямая OL, не перпендикулярная оси OZ, равномерно вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Точка М движется по прямой OL со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ подвижной точки до точки О. Написать параметрические уравнения траектории точки М.

(траектория называется конической спиралью)

В неподвижной системе координат расстояние до точки O изменяется в соответствии с дифференциальным уравнением:

r' (t) = r (t) / τ (неизвестный коэффициент пропорциональности здесь 1/τ)

Уравнение с разделяющимися переменными, решаем:

dr / r = dt / τ

r = r (0) exp (t / τ)

Переходим от r к (x, y, z) :

x (t) = x (0) exp (t / τ)

y (t) = y (0) exp (t / τ)

z (t) = z (0) exp (t / τ)

В вращающейся системе координат z остаётся такой же, а x и y периодически изменяются:

x (t) - > x (t) cos (ωt + φ)

y (t) - > y (t) sin (ωt + φ)

В итоге получаем такие параметрические уравнения:

x (t) = x (0) cos (ωt + φ) exp (t / τ)

y (t) = y (0) sin (ωt + φ) exp (t / τ)

z (t) = z (0) exp (t / τ)

Если выбрать в качестве параметра угол θ, на который повернулась прямая, то будет немного по-другому:

x (θ) = a cos θ exp (θ/Φ)

y (θ) = a sin θ exp (θ/Φ)

z (θ) = b exp (θ/Φ)

(Φ = ωτ)