Выяснить является ли функция у=х^4 - х^3 чётной, нечётной или другой

Функция y=f (x) называется четной, если выполнены два условия:

1. ее область определения D (f) (то есть множество тех значений x, для которых f (x) существует) симметрична относительно 0

(т. е. x∈f (x) ⇒ (-x) ∈f (x))

2. для любой точки x∈f (x) ⇒ f (-x) = f (x).

Функция y=f (x) называется нечетной, если выполнены два условия:

1. ее область определения D (f) симметрична относительно 0

(т. е. x∈f (x) ⇒ (-x) ∈f (x))

2. для любой точки x∈f (x) ⇒ f (-x) = - f (x).

На графике функции это сказывается так: график четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно начала координат (если последнее понять трудно, можно сказать так: если, взяв ту часть графика нечетной функции, которая лежит в правой полуплоскости, отразив ее симметрично относительно оси OY, а затем относительно оси OX, вы получите график в левой полуплоскости, значит ваша функция нечетная.

f (x) = x^4-x^3; D (f) = R

f (-x) = (-x) ^4 - (-x) ^3=x^4+x^3.

Уже сейчас понятно, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Если нужна аккуратность, решаем уравнение

f (-x) = f (x) ; x^4+x^3=x^4-x^3; 2x^3=0; x=0. А если бы функция была бы четной, должно было получиться 0=0.

f (-x) = - f (x) ; x^4+x^3=-x^4+x^3; 2x^4=0; x=0. А если бы функция была бы нечетной, должно было получиться 0=0.

Итак, функция не является ни четной, ни нечетной