23. * Даны точки А (1; 0; - 2), В (4; 3; 7), С (2; - 3; 5), D (-1; 6; 0).

Найти угол между векторами:

а)

AB

и

СD

; б)

AC

и

BD.

А (1; 0; - 2), В (4; 3; 7), С (2; - 3; 5), D (-1; 6; 0).

Угол между векторами можно найти по формуле:

cos α=a*b / (|a|*|b|)

а) AB и СD:

Вектор АВ = (4-1; 3-0; 7+2) = (3; 3; 9).

Вектор CD = (-1-2; 6+3; 0-5) = (-3; 9; - 5).

Находим скалярное произведение векторов:

AB*CD=3 * (-3) + 3*9+9 * (-5) = - 9+27-45=-27.

Находим модули векторов:

|AB| = √ (3²+3²+9²) = √ (9+9+81) = √99=3√11;

|CD|=√ ((-3) ²+9² + (-5) ²) = √ (9+81+25) = √115.

Находим угол между векторами:

cos α=-27 / (3√11*√115) = - 9/√1265.

б) AC и BD:

Вектор АC = (2-1; - 3-0; 5+2) = (1; - 3; 7).

Вектор BD = (-1-4; 6-3; 0-7) = (-5; 3; - 7).

Находим скалярное произведение векторов:

AC*BD=1 * (-5) - 3*3+7 * (-7) = - 5-9-49=-63.

Находим модули векторов:

|AC|=√ (1² + (-3) ²+7²) = √ (1+9+49) = √59;

|BD|=√ ((-5) ²+3² + (-7) ²) = √ (25+9+49) = √83.

Находим угол между векторами:

cosα=-63 / (√59*√83) = - 63/√4897.