Может ли призма иметь а) 20 вершин б) 25 вершин в) 20 ребер г) 30 ребер д) 10 граней е) 15 граней?

Решение:

В n-угольной призме n вершин в верхнем основании и столько же в равном ему нижнем основании призмы. Тогда общее число вершин равно 2n (т. е. оно всегда чётное)

а) 20 вершин имеет десятиугольная призма.

б) призмы с нечётным числом вершин не существует.

Разберёмся с числом рёбер.

В n-угольной призме n рёбер в верхнем основании, столько же в равном ему нижнем основании, да ещё n боковых рёбер призмы, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований Получили, что всего их 3·n (т. е. число рёбер призмы кратно трём у любой призмы).

в) Призмы, у которой ровно 20 рёбер, не существует, т. к. 20 не делится на 3.

г) 30 рёбер у десятиугольной призмы.

Поговорим, наконец, о гранях призмы. Наименьшее число граней у треугольной призмы. Их 5 (три боковых и 2 основания). Любое другое число граней, не меньшее пяти возможно. Если граней n, то в основании лежит многоугольник, имеющий (n - 2) вершины.

д) 10 граней у восьмиугольной призмы (восемь боковых и 2 основания).

е) 15 граней у тринадцатиугольной призмы (тринадцать боковых и два основания).

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) нет;

г) да;

д) да;

е) да.