За круглым столом сидят гномы. Гномы по кругу передают горшок с монетами. Первый гном взял из горшка 1 монету, второй-2, третий-3 и так далее. Каждый следующей брал ровно на одну монету больше. Оказалось, что на четвёртом кругу гномы суммарно взяли на 675 монет больше, чем на первом. Какое наибольшее количество гномов могло сидеть за столом?

Для решения используем формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn = n (A, + A n) / 2

Шаг прогрессии 1, значит A n = n = количество гномов.

В первом круге изъято - S1 = n (1+n) / 2 монет.

Шаг круга - n, второй круг заканчивается - 2n, третий - 3 n.

Первый член 4 круга - 3n+1;

S4=n (3n+1+4n) / 2 - изъято монет в 4 круге.

Составим уравнение:

n (3n+1+4n) / 2 - n (1+n) / 2 = 675

3n ² + n + 4 n ² - n - n² = 1350

6n²=1350

n = √225=15 гномов.

Проверка: S1 = 15*16/2=120 монет.

S4 = 15 (3*15+1+4*15) / 2=795 монет.

795-120=675 монет.