Три ребра и диагональ прямоугольного параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Найти объѐм прямоугольного параллелепипеда.

Три ребра a, b, с и диагональ m образуют прогрессию с разностью d.

b = a + d, с = a + 2d, m = a + 3d.

По теореме Пифагора

m^2 = a^2 + b^2 + c^2

(a + 3d) ^2 = a^2 + (a + d) ^2 + (a + 2d) ^2

a^2 + 6ad + 9d^2 = a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2

9d^2 = 2a^2 + 5d^2

4d^2 = 2a^2

2d^2 = a^2

a = d*V (2)

Объем параллелепипеда

V = abc = a * (a + d) * (a + 2d) = d*V (2) * (d*V (2) + d) * (d*V (2) + 2d)

V = d^3*V (2) * (V (2) + 1) * (V (2) + 2)

Обозначим стороны параллелепипеда как a, (a+d), (a+2d).

Диагональ (a+3d).

Диагональ равна √ ((a²) + (a+d) ² + (a+2d) ²).

После раскрытия скобок и приведения подобных, получим

(a+3d) = √ (3 а² + 6ad + 6d²).

Возведем обе части в квадрат:

а² + 6ad + 9d² = 3 а² + 6ad + 6d²

2 а² = 3d² d = а√ (2/3).

Объём равен V = a * (a+d) * (a+2d) = а² + 3a²d + 2 аd².

Подставив вместо d его значение, получим

V = a³ (7 + 3√6).