Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна Q, боковая поверхность S

Найти объем пирамиды.

Площадь основания (квадрата) = а²=Q, где а - сторона квадрата. ⇒ а=√Q, a/2=√Q/2.

S (бок) = S=p*h, где р-полупериметр, р=4 а/2=2 а=2√Q, h-апофема (высота боковой грани).

Получаем уравнение S=2√Q*h ⇒ h=S/2√Q.

Соединим апофему с основанием высоты пирамиды. Получим прямоугольный треугольник, сторонами которого будут апофема, высота пирамиды и отрезок между основанием высоты и основанием апофемы. Этот отрезок равен половине стороны квадрата, то есть а/2=√Q/2. По теореме Пифагора квадрат высоты пирамиды

Н²=h² - (a/2) ²=S²/4Q - Q/4 = (S²-Q²) / 4Q

H=√ (S²-Q²) / (2√Q)

V=1/3*S (основания) * Н=1/3*Q*√ (S²-Q²) / (2²Q) = 1/6*√Q (S²-Q²).