Докажите, что при любом натуральном n число 4^n+15n-1 кратно 9

Докажем, что при любом натуральном и выражение А (n) = 4n + 15n - 1 кратно 9. Используем стандартную схему доказательства: 1. При n = 1 выражение A (1) = 41 + 15 · 1 - 1 = 18 кратно 9. 2. Предположим, что при n = k выражение А (k) = 4k + 15k - 1 кратно 9, т. е. 4k + 15k - 1 = 9 р (где р - натуральное число). 3. При n = k + 1 надо доказать, что выражение А (k + 1) = 4k+1 + 15 (k + 1) - 1 делится на 9. Для доказательства можно использовать два способа. 1-й способ. Поступим, как и в примере 1, т. е. выделим в выражении А (k + 1) часть А (k), которая делится на 9. Для этого преобразуем выражение А (k + 1) к виду А (k + 1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4 (4k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4 А (k) + 9 (2 - 5k). Видно, что выражение А (k + 1) является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 9. Сложность этого способа состоит в умении в выражении А (k + 1) выделить часть А (k), т. е. догадаться до преобразования 4k+1 + 15k + 14 = 4 (4k + 15k - 1) - 45k + 18. Поэтому рассмотрим другой способ, лишенный такого недостатка. 2-й способ. Из выражения 4k + 15k - 1 = 9 р (пункт 2) найдем 4k = 9 р + 1 - 15k и подставим в выражение А (k + 1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4 (9p + 1 - 15k) + 15k + 14 = 36p + 18 - 45k. Видно, что выражение A (k + 1) состоит из трех слагаемых, каждое из которых делится на. 9. Связь между пунктами 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пункте 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пункта 3. Заметим, что если на число п накладываются по условию задачи ограничения, то необходимо ввести новое натуральное число т и свести задачу к старой схеме.