Барон Мюнхгаузен утверждает, что когда он обходит снаружи свой замок вдоль его стен и возвращается в исходную точку, то проходит больше 800 метров, а когда он идёт вдоль забора, которым обнесён замок, и возвращается в исходную точку, то проходит меньше 400 метров. Могут ли слова барона быть правдой?

Конечно, могут. Стены замка могут образовывать сколь угодно сложный невыпуклый многоугольник, а забор быть, например, границей так называемой выпуклой оболочки этого многоугольника.

Например, забор может быть правильным 8-угольником A_1A_2 ... A_8 со стороной a. Для построения хитрых стен замка проведем следующие вычисления. Найдем радиус R окружности, описанной около 8-угольника, иными словами расстояние от его

вершин до центра O. В равнобедренном треугольнике A_1OA_2 сторона A_1A_2=a; A_1O=A_2O=R; угол при вершине равен 360/8=45°. По теореме косинусов a^2=R^2+R^2-2R^2cos 45°=R^2 (2-√2) ;

R^2=a^2 / (2-√2) = a^2 (2+√2) / (2^2 - (√2) ^2) = a^2 (2+√2) / 2=a^2 (1+√2/2) >a^2;

R>a. Внутри треугольника A_1OA_2 рассмотрим равнобедренный треугольник A_1B_1A_2 с A_1B=A_2B такой, чтобы A_1B_1 оставалась больше a (естественно, она будет меньше R). Аналогично получаем треугольники A_2B_2A_3, A_3B_3A_4, и так далее, до A_8B_8A_1.

Стороны 16-угольника A_1B_1A_2B_2A_3 ... A_7B_7A_8B_8 больше a, поэтому его периметр больше 16a, а периметр 8-угольника A_1A_2 ... A_8 равен 8a. Поэтому периметр 16-угольника более чем в два раза превосходит периметр 8-угольника, что и требовалось.