Перечислите Свойства радикалов

Знак радикала sqrt (a) используется только для арифметического корня,

то есть для неотрицательного действительного корня уравнения x²=a

Такой корень существует только при a≥0, поэтому корень извлекается только из неотрицательных чисел

Итог: и подкоренное выражение и сам корень - неотрицательные числа.

По поводу свойства с модулем:

Вот его запись

sqrt (x²) = |x|

|x| - это конкретное число, а не набор чисел

модуль числа - это само это число, но без знака

|2| = 2, |-2| = 2 (модуль минус двух тоже равен двум)

поэтому sqrt (4) = |2| = 2 и в то же время sqrt (4) = |-2| = 2

Итог: ни логической, ни математической ошибки здесь нет

по поводу выноса знака минус

есть такие свойство |a| = |-a|, (-a) ²=a²

из обоих этих свойств следует свойство

sqrt ((-a) ²) = sqrt (a²)

но неверным будет думать, что

sqrt (-a²) = sqrt (a²)

sqrt (-5) ≠ sqrt (5)

в действительных числах корень из - 5 вообще не извлекается

по поводу уничтожения знака

sqrt (x²) = |x| - это общее правило

но иногда нам что-то известно про выражение x, что позволяет нам установить его знак

например

sqrt ((5t²+1) ²) = |5t²+1|

При любых действительных значениях t, выражение под модулем будет положительным, а это значит, что знака у него и так нет, то есть модуль можно просто снять

|5t²+1|=5t²+1

может быть и противоположный случай

sqrt ((6t-t²-10) ²) = |6t-t²-10|

выражение 6t-t²-10=-1 - (t²-6t+9) = - 1 - (t-3) ² отрицательно при любых t, поэтому его знак - всегда минус, поэтому, чтобы убрать этот знак, нужно поменять знаки перед всеми слагаемыми (если x < 0, то |x| = - x)

|6t-t²-10|=t²-6t+10

иногда информацию о том, какие значения может принимать подмодульное выражение, мы берём не из вида самого выражения, а из самого условия (например, в условии сказано, что t > 5 или что-то подобное)