Треугольники ABC и ADC расположены по одну сторону от прямой AC. Известно, что AB=CD, AD=CB, M-середина AC. Докажите, что треугольник BMD - равнобедренный.

Поскольку отрезки AD и BC пересекаются, точки D и B лежат по одну сторону от прямой AC. Следовательно, точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Рассмотрим два случая.

1) Точки идут в порядке A, D, B, C. Тогда AMC - внешний угол треугольника AMD, поэтому ∠DAB = ∠DAM = 30°. Но ∠ADB > 40°. Значит, AB > DB, что противоречит условию.

2) Точки идут в порядке A, B, C, D (см. рис.) Тогда ∠DMC = 30°, ∠BCA = ∠BCD = ∠DCM = 30°. Следовательно, ∠DCA = 60°, ∠BAC = 110°, ∠DAC = 80°.