Найдите площадь треугольника, образованного прямыми y=5x, y=7x, x=2.

Найдем 3 точки пересечения этих прямых.

{ y = 5x

{ y = 7x

5x = 7x; x = 0; y = 0; O (0; 0)

{ y = 5x

{ x = 2

y = 5*2 = 10; A (2; 10)

{ y = 7x

{ x = 2

y = 7*2 = 14; B (2; 14)

Найдем длины сторон

|OA| = √ (2^2 + 10^2) = √ (4 + 100) = √104 = 2√26

|OB| = √ (2^2 + 14^2) = √ (4 + 196) = √200 = 2√50

|AB| = √ ((2-2) ^2 + (14-10) ^2) = √ (0 + 4^2) = √16 = 4

Площадь треугольника

p = (OA + OB + AB) / 2 = √26 + √50 + 2

S = √[p (p - OA) (p - OB) (p - AB) ] =

= √[ (√26 + √50 + 2) (-√26 + √50 + 2) (√26 - √50 + 2) (√26 + √50 - 2) ]

= √[ (√26 + √50 + 2) (√26 + √50 - 2) * (2 + √50 - √26) (2 - (√50 - √26)) ]

= √[ ((√26 + √50) ^2 - 4) * (4 - (√50 - √26) ^2) ] =

= √[ (26 + 50 + 2√ (26*50) - 4) * (4 - (50 + 26 - 2√ (26*50))) ] =

= √[ (72 + 2√ (26*50)) * (2√ (26*50) - 72) ] =

= √ (4*26*50 - 72^2) = √ (5200 - 5184) = √16 = 4

Ответ: 4

Интересно, можно ли это решить проще?