1. как 25 монетами с достоинством 1 руб, 2 руб и 5 руб выдать 100 руб

2. найдите какое-нибудь число, у которого произведение суммы цифр на их количество равно 2017.

3. Петя на доске написал трёх значное число, в записи которого ни одного нуля. затем он написал все числа, которые можно получить переставной цифр данного числа. сумма всех написаных на доске числа составила 2775. какое число мог загадать Петя?

1. Количество монет

a+b+c=25

Сумма

a+2b+5c=100

Получаем систему 2 уравнений с 3 неизвестными, которую нужно решить в натуральных числах.

Вычитаем из 2 уравнения 1 уравнение

b+4c=75

b=75-4c, при этом b+c<=25

c=17; b=75-4*17=7; a=25-17-7=1

c=18; b=75-4*18=3; a=25-18-3=4

Других вариантов нет.

Ответ: 1+7*2+17*5; 4*1+3*2+18*5

2. 2017=1*2017 - простое число.

Сумма цифр должна быть равна 1, а количество цифр 2017. Потому что количество цифр не может быть 1.

Это число 1 с 2016 нулями, то есть 10^2016.

3. Петя написал какое-то число 100a+10b+c (трехзначное число в общем виде).

Потом он написал все перестановки:

100a+10b+c, 100a+10c+b, 100b+10a+c, 100b+10c+a, 100c+10a+b, 100c+10b+a.

Сумма этих 6 чисел

100 (2a+2b+2c) + 10 (2a+2b+2c) + (2a+2b+2c) = 111 (2a+2b+2c)

Число 2775=111*25

Но сумма в скобках должна быть чётной. Значит, две цифры были равны друг другу и перестановок было только 3.

100a+10a+b, 100a+10b+a, 100b+10a+a.

Их сумма равна

100 (2a+b) + 10 (2a+b) + (2a+b) = 111 (2a+b)

Значит, 2a+b=25=7+9+9=8+8+9.

Ответ: 799 или 889.