Определите, при каком наибольшем целом k один из корней уравнения 4x^2 - (3k+2) x + (k^2-1) = 0

в три раза больше другого.

D = (3k+2) ^2 - 4*4 (k^2-1) = 9k^2+12k+4-16k^2+16 = - 7k^2+12k+20 >=0

D1 = 12^2 - 4 (-7) * 20 = 144 + 560 = 704 = (8√11) ^2

k1 = (-12 - 8√11) / (-14) = (6 + 4√11) / 7 ~ 2,7523

k2 = (-12 + 8√11) / (-14) = (6 - 4√11) / 7 ~ - 1,038

То есть корни есть только при k ∈ [-1; 2].

Проще всего проверить корни при этих k.

k = - 1: 4x^2 + x = 0; x1 = 0; x2 = - 1/4 - не подходит.

k = 0: 4x^2 - 2x - 1 = 0;

D = 4+16 = 20; x1 = (2-2√5) / 8 = (1-√5) / 4; x2 = (1+√5) / 4 - не подходит

k = 1: 4x^2 - 5x = 0; x1 = 0; x2 = 5/4 - не подходит

k = 2: 4x^2 - 8x + 3 = 0; D = 64-4*4*3 = 64-48 = 16=4^2;

x1 = (8-4) / 8 = 1/2; x2 = (8+4) / 8 = 3/2 - подходит!

Ответ: k = 2

Но можно решить и в общем виде.

Изначально D = - 7k^2+12k+20

x1 = (3k+2 - √ (-7k^2+12k+20)) / 8

x2 = (3k+2 + √ (-7k^2+12k+20)) / 8

И по условию x2 = 3*x1 (очевидно, что x2 > x1)

3 * (3k+2 - √ (-7k^2+12k+20)) = 3k+2 + √ (-7k^2+12k+20)

9k+6 - 3√ (-7k^2+12k+20)) = 3k+2 + √ (-7k^2+12k+20))

4√ (-7k^2+12k+20)) = 6k + 4

2√ (-7k^2+12k+20)) = 3k + 2

Возводим всё в квадрат

4 (-7k^2+12k+20) = (3k+2) ^2

-28k^2 + 48k + 80 = 9k^2 + 12k + 4

37k^2 - 36k - 76 = 0

D/4 = 18^2 - 37 (-76) = 324 + 2812 = 3136 = 56^2

k1 = (18 - 56) / 37 = - 38/37 - не подходит, потому что не целое

k2 = (18 + 56) / 37 = 74/37 = 2 - подходит.

Ответ: 2