Король хочет построить 6 крепостей и соединить их прямыми дорогами (каждую с каждой) так, чтобы получилось только 3 перекрёстка, а на каждом перекрёстке пересекались только две дороги. Возможно ли это?

нарисуй

По-моему возможно.

Если попробовать нарисовать прямоугольник и выделить на нем все углы (это 4 точки) и середины длин (еще две точки) - это будут крепости.

Перекрестки: на ширине посередине поставить 2 точки, соединить их - это первая прямая. На ней отметить точки пересечения с шириной (те самый две точки будут являться перекрестками) + провести отрезок, соединяя две средние крепости, т. е. точки на середине длины. Точка пересечения с первой прямой и будет третьим срединным перекрестком ...