Иследовать функцию и построить график у = х^3-6 х^2+9 х+1

1) Область определения и область значений: (-oo; + oo)

2) Непериодическая, ни четная, ни нечетная

3) Разрывов нет, асимптот на бесконечности нет.

4) Пересечение с осью Oy: y (0) = 1; пересечения с Ox найти сложно.

y (-1) = - 1-6-9+1 = - 150; x1 ∈ (-1; 0)

y (1) = 1-6+9+1 = 5>0; больше пересечений нет.

5) Экстремумы

y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3 (x^2 - 4x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3) = 0

x1 = 1; y (1) = 5 - максимум.

x2 = 3; y (3) = 3^3 - 6*3^2 + 9*3 + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 - минимум.

При x 3 будет y' > 0, функция возрастает.

При 1 < x < 3 будет y' < 0, функция убывает.

6) Точки перегиба

y'' = 6x - 12 = 0; x = 2; y (2) = 2^3 - 6*2^2 + 9*2 + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3

При x < 2 будет y'' < 0, функция выпуклая вверх.

При x > 2 будет y'' > 0, функция выпуклая вниз (вогнутая).

7) Предел на - oo равен - oo, предел на + oo равен + oo.

График сами рисуйте, он совсем простой.