На прямой отметили несколько точек, в том числе точки А и В. Рассматриваются всевозможные отрезки с концами в отмеченных точках. Вася подсчитал, что точка А находится внутри 50 из этих отрезков, а точка В внутри 56 отрезков. Сколько точек было отмечено? (Концы отрезка не являются его внутренними точками.)

Пусть точка В расположена на прямой правее точки А. (Для случая, когда это не так, будут справедливы аналогичные рассуждения).

Пусть слева от А находится m точек, а справа - n точек (включая В). Так как каждый отрезок, содержащий А, имеет начало слева от неё, а конец - справа, то по комбинаторному правилу умножения всего есть m*n таких отрезков. По условию m*n = 50.

Пусть между А и В лежит х точек. Тогда слева от В находится (m+х+1) точек (включая А), а справа - (n-х-1) точек. (m+х+1) * (n-х-1) = 56.

Систему из указанных двух уравнений решаем в целых числах путём подбора:

5*10 = 50, 8*7 = 56,

m=5, n=10, х=2.

Всего на прямой m + n + 1 = 16 точек.