Докажите что 5^2n+10^n-4^2n при делении на 9 дает остаток 1

Надо доказать, что

5^2n+10^n-4^2n-1 делится на 9.

10^n-1 делится на 9 (это 99 ... 9).

Остается доказать: 5^2n-4^2n делится на 9. Для = 1 это так (25-16=9).

Пусть это верно для n=к. Покажем, что это верно и для n=к+1.

5^ (2k+2) - 4^ (2k+2) = 25*5^2k-16*2^2k=9*5^2k+16 * (5^2k-4^2k), но выражение в скобках, по предположению на 9 делится. Это и доказывает утверждение.