K числу прибавили сумму его цифр. К полученному числу прибавили сумму его цифр, и так далее. Когда в седьмой раз к числу прибавили сумму его цифр, получили 1000. С какого числа начали? Ответ: 887, но как объяснить?

Понятно, что число должно быть трехзначным.

В самом деле, если оно двухзначное, то максимальное значение двухзначного числа равно 99, а сумма цифр равна 18 и мы получим 99+18*7=225 << 1000

Трехзначное число можно записать в виде 100a+10b+c, где a, b, c - число сотен, десятков и единиц соответственно. Сумма цифр такого числа равна a+b+c.

Получаем уравнение 100a+10b+c+7 (a+b+c) = 1000

107a+17b+8c=1000

Такие уравнения в целых числах решают методом подбора.

При b=c=0 получим 107a=1000 ⇒ a=9 (в целых)

При b=c=9 получим 107a+153+72=1000; 107a=775 ⇒ a=7 (в целых)

Следовательно, нам надо проверить значения a ∈ [7; 9]

1) При a=7 получаем 749+17b+8c=1000 ⇒ 17b+8c=251

Даже при b=c=9 получим 225≠251, следовательно, a≠7

2) При a=8 получаем 856+17b+8c=1000 ⇒ 17b+8c=144

b = (144-8c) / 17, c ∈ [0; 9]

Нужно подобрать такое с, чтобы числитель был кратен 17.

Подходит значение с=1 и получаем b = (144-8*1) / 17 = 8

Мы нашли нужное число: 881.

3) Проверим, не даст ли еще одного решения a=9.

Получаем 107*9+17b+8c=1000; 17b+8c=37

b = (37-8c) / 17, c ∈ [0; 4], потому что при c>4 числитель будет отрицательным.

Снова нужно подобрать такое с, чтобы числитель был кратен 17.

Но 17 кратны числа 17 и 34. Ни одно с из указанного диапазона не позволяет получить этих чисел, следовательно a≠9

Ответ: 881