Решить систему уравнений

|x^2-2x| + y = 1

x^2+|y|=1

Модули.

x^2 - 2x = x (x - 2) = 0; x1 = 0; x2 = 2

Если x = 2, то x^2 - 2x > = 0; |x^2 - 2x| = x^2 - 2x

Если 0 < x < 2, то x^2 - 2x < 0; |x^2 - 2x| = 2x - x^2

Если y = 0, то |y| = y.

Получаем 4 разных системы

1) x ∈ (-oo; 0] U [2; + oo) ; y ∈ (-oo; 0)

{ x^2 - 2x + y = 1

{ x^2 - y = 1

Приравниваем левые части

x^2 - 2x + y = x^2 - y

-2x = - 2y

x = y

Подставляем во 2 уравнение

x^2 - x - 1 = 0

D = 1 - 4 (-1) = 5

x1 = (1 - √5) / 2 < 0 - подходит

x2 = (1 + √5) / 2 > 0 - не подходит

Решение: x1 = y1 = (1 - √5) / 2

2) x ∈ (0; 2) ; y ∈ (-oo; 0)

{ 2x - x^2 + y = 1

{ x^2 - y = 1

Выразим y в обоих уравнениях

{ y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1) ^2

{ y = x^2 - 1 = (x - 1) (x + 1)

Приравниваем правые части

(x - 1) ^2 = (x - 1) (x + 1)

x1 = 1 ∈ (0; 2) - подходит; y = (x - 1) ^2 = 0 - не подходит. Это НЕ решение.

x - 1 = x + 1 - решений нет.

Решений нет.

3) x ∈ (-oo; 0] U [2; + oo) ; y ∈ [0; + oo)

{ x^2 - 2x + y = 1

{ x^2 + y = 1

Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение

1 - 2x = 1

x = 0 - подходит.

y = 1 - x^2 = 1 - 0 = 1 > 0 - подходит

Решение: x2 = 0; y2 = 1

4) x ∈ (0; 2) ; y ∈ [0; + oo)

{ 2x - x^2 + y = 1

{ x^2 + y = 1

Выразим y в обоих уравнениях

{ y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1) ^2

{ y = 1 - x^2 = (1 - x) (1 + x) = - (x - 1) (1 + x)

Приравниваем правые части

(x - 1) ^2 = - (x - 1) (1 + x)

x = 1 ∈ (0; 2) - подходит, y = 1 - x^2 = 0 ∈ [0; + oo) - подходит

x - 1 = - 1 - x; 2x = 0; x = 0 ∉ (0; 2) - не подходит

Решение: x3 = 1; y3 = 0

Ответ: ((1 - √5) / 2; (1 - √5) / 2) ; (0; 1) ; (1; 0)