Провести полное исследование данных функций и построить их графики y=x*e^x

Я пятекластнрк мне нужно рещить эти уровнение

Решение:

1) Область определения: D (y) (-∞; ∞)

2) Множество значений: E (y)

3) проверим, является ли функция четной или нечетной:

у (x) = x³*e^ (-x²/2)

y (-x) = (-x) ³*e^ (- (-x) ²/2) = - x³*e^ (-x²/2)

Так как у (-х) = - у (х), то функция не четная.

4) Найдем нули функции:

у=0; x³*e^ (-x²/2) = 0

x³=0

x=0

График пересекает оси координат в точке (0; 0)

5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания:

y'=3x²*e^ (-x²/2) - x^4*e^ (-x²/2) = e^ (-x²/2) * (3x²-x^4) ; y'=0

e^ (-x²/2) * (3x²-x^4) = 0

3x²-x^4=0

x² (3-x²) = 0

x²=0

x1=0

3-x²=0

x2=√3

x3=-√3

Так как на промежутках (-∞; -√3) и (√3; ∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает.

Так как на промежутках (-√3; 0) и (0; √3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.

Так как при переходе через точку х=√ производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (√3) = - 3√3*e^ (-3/2) ≈-23.1

Так как при переходе через точку х=-√ производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (√) = 3√3*e^ (-3/2) ≈23.1

В точке х=0 функция экстремума не имеет

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:

y"=-x*e^ (-x²/2) * (3x²-x^4) + e^ (-x²/2) * (6x-4x³) = e^ (-x²/2) * (6x-7x³+x^5) ; y"=0

e^ (-x²/2) * (6x-7x³+x^5) = 0

6x-7x³+x^5=0

x (x^4-7x²+6) = 0

x1=0

x^4-7x²+6=0

a) x²=6

x2=-√6

x3=√6

б) x²=1

x4=1

x5=-1

Так как на промежутках (-∞; -√6) (-1:0) и (1; √6) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх

Так как на промежутках (-√6; -1) (0; 1) и (√6; ∞) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз.

Точки х=0; х=±1 и x=±√6 являются точками перегиба.

7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты:

Так как точек разрыва финкция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот.

Наклонные асимптоты вида y=kx+b

k=lim (при х->∞) (x³*e^ (-x²/2) / x) = ∞

Наклонных асимптот функция не имеет.

8) Все, строй график