Даны три вершины параллелограмма

А (2,-3, 1), В (-3,5,3), С (4,3, - 4)

Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма

1) Надо использовать свойство симметрии вершин параллелограмма относительно точки пересечения диагоналей.

Находим точку О пересечения диагоналей как середину диагонали АС.

О ((2+4) / 2=3; -3+3) / 2=0; (1-4) / 2=-1,5)) = (3; 0; -1,5).

Находим координаты точки Д:

Хд = 2 Хо - Хв = 2*3 - (-3) = 6+3 = 9,

Yд = 2Yо - Yв = 2*0-5 = - 5,

Zд = 2Zо - Zв = 2 * (-1,5) - 3 = - 6.

Д (9; -5; -6).

2) Для того, чтобы узнать, какой угол острый, надо найти косинусы углов между векторами ВА и ВС, АВ и АД.

ВА (2 - (-3) = 5; -3-5=-8; 1-3=-2) = (5; -8; -2),

ВС (4+3=7:3-5=-2; -4-3=-7) = (7; -2; -7).

cos (< (BA-BC)) = (5*7+8*2+2*7) / (√ (5²+8²+2²) * √ (7²+2²+7²)) =

= (35+16+14) / (√25+64+4) * √ (49+4+49)) = 65 / √93 * √ 102

= 65 / (9,643651*10,0995) = 65 / 97,3961 = 0,667378.

АВ = - ВА = (-5; 8; 2). А (2,-3, 1), Д (9; -5; -6).

АД = (7; -2; -7).

cos (< (AB-АД)) = (-35-16-14) / 97,3961 = - 65 / 97,3961 = - 0,667378.

Этот угол тупой.

< (BA-BC) = arc cos 0,667378 = 0,840114 радиан = 48,13498 °.