Дайте определение множества

Множество - Мно́жество - одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое[1][2]. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872-1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как "единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством". Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A (x), обозначил / {x/mid A (x) / }. Если некоторое множество Y=/{x/mid A (x) / }, то A (x) назвал характеристическим свойством множества Y.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную - аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело - Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы - строчными. Если a - элемент множества A, то записывают a/in A ("a принадлежит A"). Если a не является элементом множества A, то записывают a/notin A ("a не принадлежит A"). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

/{6,11/}=/{11,6/}=/{11,11,6,11,6/}.

Специальные множества Править

Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента.

Универсальное множество (универсум) - множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как "множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче".

Частично упорядоченное множество, вполне упорядоченное множество - множество, на котором задано отношение порядка.

Сходные объекты Править

Кортеж (в частности, упорядоченная пара) - упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.

Мультимножество (в теории сетей Петри называется "комплект") - множество с кратными элементами.

Пространство - множество с некоторой дополнительной структурой.

Вектор - элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.

Последовательность - функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.

Нечёткое множество - математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить "в какой мере" они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии Править

Множество множеств (в частности, булеан - множество всех подмножеств данного множества).

Подмножество

Надмножество