Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением y=k/x

Гипербола, заданная уравнением y=k/x, - это равносторонняя гипербола, её ось проходит через начало координат под углом 45 градусов к оси Ох.

Уравнение такой линии у = х.

Находим параметр а гиперболы, равный расстоянию от начала координат до точки пересечения гиперболы со своей осью.

Для этого приравняем правые части уравнений гиперболы и её оси.

к/х = х,

к = х ²,

х = + - √к

А так как у = х, то и у = + - √к,

Отсюда а = + - √ (х²+у²) = + - √ (к+к) = + - √ (2 к),

Если гипербола равнобочная (равносторонняя), то а = в, а эксцентриситет ε = √2.

Фокусный параметр с = а*ε = + - √ (2 к) * √2 = + - 2√к, где с - половина расстояния между фокусами.

Так как ось гиперболы проходит по углом 45 °, то координаты её фокусов равны х = у = + - с*cos45° = + - 2√k * (√2/2) = + - √ (2k).