Найти расстояние от точки D (5; 3; 1) до плоскости, проходящей через точки А (4; 3; 0), В (3; 5; -1), С (1; 3; 3).

1) Составим уравнение плоскости (ABC). Оно имеет вид:

ax+by+cz+d=0

Плоскость проходит через три точки A, B, C, поэтому справедливо следующее:

Для A (4; 3; 0) : 4a+3b+d=0

Для B (3; 5; -1) : 3a+5b-c+d=0

Для C (1; 3; 3) : a+3b+3c+d=0

Получили систему из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Сразу же примем a=1, чтобы система решилась однозначно.

(1) 3b+d=-4

(2) 5b-c+d=-3

(3) 3b+3c+d=-1

Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к третьему, получим:

18b+4d=-10 или 9b+2d=-5 (4)

Умножим первое уравнение на - 2 и сложим с (4). - 6b+9b-4d+4d=8-5

3b=3, b=1

Далее из (1) выразим d: d = - 4-3b=-7

Далее из (2) выразим c: c = 5b+d+3=5-7+3=1.

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: x+y+z-7=0.

Теперь можно найти расстояние от точки D (5; 3; 1) до плоскости (ABC) :

ρ (D, (ABC)) = |1*5+1*3+1*1-7|/sqrt (1^2+1^2+1^2) = 2/sqrt (3) = 2*sqrt (3) / 3.