Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

1.1 f (x) = 16-x^2, f (x) = 0. 1.2. f (x) = 1+x^2, y = 2. 1.3. f (x) = (x-1) ^2, y=0, x=3. 1.4. f (x) = 5cosx, f (x) = 3cosx. 1.5. f (x) = x^2+2, f (x) = 3x+2.

1.1 y=16-x², y=0. парабола, ветви вниз. надо найти точки пересечения параболы и прямой.

16-x²=0 = >x₁=-4 x₂=4

S=∫₋₄⁴ (16-x²) dx = (16x-x³/3) |₋₄⁴=64-64/3 - (-64+64/3) = 128-128/3=256/3

1.2 y=1+x² y=2 Найдем точки пересечения: 1+x²=2 = > x²=1 = > x₁=-1 x₂=1

S=∫₋₁¹ (1+x²) dx = (x+x³/3) |₋₁¹=1+1/3 - (-1-1/3) = 2+2/3=8/3

1.3 y = (x-1) ² y=0 x=3 Точка пересечения (x-1) ²=0 = > x=1

S=∫₁³ (x-1) ²dx = (x³/3-x²+x) |₁³=9-9+3 - (1/3-1+1) = 3-1/3=8/3

1.4 y=5cosx y=3cosx

S=∫ (5cosx-3cosx) dx=∫2cosxdx=2sinx=2 (sin (π/2) - sin (-π/2)) = 4

1.5 y=x²+2 y=3x+2 Точка пересечения x²+2=3x+2 = > x²-3x=0 = > x=0, x=3

S=∫₀³ (x²+2) dx-∫₀³ (3x+2) dx = (x³/3+2x) |₀³ - (3x²/2+2x) |₀³=9+6 - (27/2+6) = 9-27/2=-9/2. Это значит что прямая выше параболы и S=∫ (3x+2) dx-∫ (x²+2) dx=9/2