Чему равно значение функции у = (x^3) / 3 + (x^2) / 2-2x-7/3 в точке максимума

Дана функция у = (x^3) / 3 + (x^2) / 2-2x-7/3.

Её производная равна: y' = (3 х ²/3) + (2 х/2) - 2.

Или y' = x² + x - 2.

Для нахождения экстремумов приравняем производную нулю.

x² + x - 2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=1^2-4*1 * (-2) = 1-4 * (-2) = 1 - (-4*2) = 1 - (-8) = 1+8=9; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1 = (√9-1) / (2*1) = (3-1) / 2=2/2=1; x_2 = (-√9-1) / (2*1) = (-3-1) / 2=-4/2=-2.

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = - 3 - 2 0 1 2

y' = 4 0 - 2 0 4.

Как видим, точка максимума соответствует х = - 2.

Подставляем в уравнение функции значение х = - 2.

у = ((-2) ³/3) + ((-2) ²/2) - 2 * (-2) - (7/3) =

= (-8/3) + (4/2) + 4 - (7/3) = 6/6 = 1.