На доске написаны числа от 11 до 999. Вася стёр все числа, имеющие

две одинаковые цифры и все двузначные числа, кратные 10. Докажите,

что сумма оставшихся чисел кратна 37.

На доске остались все числа вида 100 х+10 у+z, где (х, у, z) - всевозможные упорядоченные тройки различных цифр от 0 до 9. Среди цифр от 0 до 9 можно выбрать три различных цифры С³₁₀=8*9*10/3!=120 способами. Любую такую непорядоченную тройку различных цифр х, у, z можно упорядочить 6 различными способами и получить 6 различных чисел:

100 х+10 у+z

100 х+10z+y

100y+10x+z

100y+10z+x

100z+10x+y

100z+10 у+x

Сумма этих чисел равна 2 (х+у+z) (100+10+1) = 37*6 * (x+у+z), т. е. делится на 37. Поскольку это верно для любой (неупорядоченной) тройки различных цифр, то и вся сумма делится на 37.