Найдите х и у из уравнения (1-i) x + (2+i) y=4-2i если а) х и у - действительные числа; б) х и у - мнимые числа.

А) Действуем как обычно с действительными числами:

(1-i) x + (2+i) y=4-2i

Раскроем скобки: x - x*i + 2*y+i*y=4-2i

Сгруппируем отдельно с i и без: (x+2*y) - x*i+i*y=4-2i

Для равенства комплексных чисел должны быть соответственно равны их действительные и мнимые части:

(x+2*y) = 4

i*y - i*x=-2i

Получилась система двух уравнений:

x+2*y=4

y - x=-2

Решаем её. Например выразим из второго уравнения у:

у = х - 2

И подставим в первое:

х + 2 * (х-2) = 4

х + 2 х - 4 = 4

3 х = 8

х = 8/3 = 2 целых и 2/3

Подставляем полученное в выражение для у:

у = х - 2 = 8/3 - 2 = 8/3 - 6/3 = 2/3

б) Если это мнимые (именно мнимые, не комплексные!), то их можно представить в виде x=x*i, y=y*i. Подставим в исходное уравнение:

(1-i) x + (2+i) y=4-2i

(1-i) x*i + (2+i) y*i=4-2i

Раскроем скобки: x*i-x*i^2+2*y*i+y*i^2=4-2i

Вспомним, что i^2 это - 1: x*i+x+2*y*i-2y=4-2i

Далее группируем, как в первом варианте: (x-2y) + (2*y*i+x*i) = 4-2i

x-2y=4

2y+x=-2

Решаем. Выразим например из первого уравнения х:

х = 4 + 2 у

Подставим во второе:

2 у + 4 + 2 у = - 2

4 у = - 6

у = - 6/4 = - 1,5

И подставим в выражение для х:

х = 4 + 2 у = 4 + 2 * (-1,5) = 4 - 3 = 1