Сколькими нулями заканчивается произведение чисел от 1 до 2012

Чтобы определить наибольшую степень числа 10, на которую делится число n!=1*2*3 ... n, надо сначала найти наибольшую степень числа 5, на которую оно делится. Каждое пятое число 5, 10, 15, 20, 25, 30 и т. д. делится на 5, всего таких чисел, не превосходящих числп n, Цел [n/5] (Целое, ближайшее к n/5). Однако некоторые мз них делятся на вторую степень числа 5, а именно 25, 50, 75 100 и т. д.; таких чисел существует Цел [n/25]. Некоторые из них делятся на третью степень числа 5, т. е на 125: 125, 250, 375 и т. д.; их существует Цел [n/125] и т. д. Это показывает, что число делителей числа n! на степени 5 таково:

Цел [n/5]+Цел [n/25]+Цел [n/125] + ... (1)

В этой сумме достаточно выписать лишь те члены, в которых целое частное не равно нулю (числитель не меньше знаменателя). Точно такие же рассуждения можно провести для степеней 2. Количество делителей n! на степени 2:

Цел [n/2]+Цел [n/4]+Цел [n/8] + ...

Ясно что это выражение не меньше выражения (1), т. е. в числе n! каждому множителю 5 можно подобрать множитель 2. Таким образом, выражение (1) дает величину степени числа 10, делящей n!, которая равна числу нулей, стоящих в конечной части записи числа.

Для n=100. Цел [100/5]=20, Цел [100/25]=4, Цел [100/125]=0, поэтому 100! заканчивается 24 нулями.