Пусть n-натуральное число, докажите что число 2^2^n+2^2^ (n-1) + 1 имеет по крайней мере n различных простых делителей

Положим что данное выражение равно s (n), и преобразуем s (n) = 2^ (2^n) + 2^ (2^ (n-1)) + 1 = (2^ (2^ (n-1)) + 1) ^2-2^ (2^ (n-1)) 1) Используя формулу разности квадратов, разложим на множители число s, для определенного n имеем s (n) = (2^ (2^ (n-1)) - 2^ (2^ (n-2)) + 1) * (2^ (2^ (n-2)) - 2^ (2^ (n-3)) + 1) * (2^ (2^ (n-3)) - 2^ (2^ (n-4)) + 1) * ... * 7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3) Для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^ (2^n) + 1 и 2^ (2^k) + 1, тогда докажем что НОД этих чисел будет равен 1. Без потери общности, положим n>k>0, то все по той же разности квадратов получим 2^ (2^n) + 1 = (2^ (2^ (n-1)) + 1) * (2^ (2^ (n-2)) + 1) * (2^ (2^ (n-3)) + 1) * ... (2^ (2^k) + 1) * ... * 5 + 2 То есть это говорит о том что, число 2^ (2^ (n)) + 1 при деланий на 2^ (2^ (k)) + 1 даёт остаток равный 2 и НОД (2^ (2^ (k)) + 1, 2) = 1 так как числа рассматриваемого вида, всегда нечётна. То есть числа взаимно простые. 4) Теперь докажем пункт номер 2. Рассмотрим числа вида X=2^ (2^k) - 2^ (2^ (k-1)) + 1 и Y=2^ (2^m) - 2^ (2^ (m-1)) + 1 Используя формулу (a^2-a+1) (a+1) = a^3+1, заменим (2^ (2^ (k-1)) + 1) = u и (2^ (2^ (m-1)) + 1) = v получим что X * (2^ (2^ (k-1)) + 1) = X*u=2^ (3*2^ (k-1)) + 1=A, аналогично Y * (2^ (2^ (m-1)) + 1) = Y*v=2^ (3*2^ (m-1)) + 1=B Для чисел A и B рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3, следует что нод (A, B) = 1 то есть они взаимно просты. Стало быть если НОД (X*u, Y*v) = 1 и НОД (u, v) = 1 значит и НОД (X, Y) = 1 тем самым пункт 2 доказан. 5) Если записать упрощенна s (n) = a1*a2*a3*a4 * * ... * a (n-1) * ... * 7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты), это значит что у s (n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число, "a" целое положительное. В свою очередь это значит что если числа a1, a2, a3 итд являются сами простыми, то у него будет ровно n делителей, если хотя бы какое одно число не простое, то при разложений его, на простые множители, учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.