По кругу расставлены 2015 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза больше. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Допустим, это не так. Значит остаток чисел от деления на 3 может быть только 1 или 2.

Следующее число не может иметь такой же остаток в случае прибавления или вычитания 1 или 2, без обнуления остатка, только смена значения с 1 на 2 и наоборот. При увеличении на 2 остаток также увеличивается в 2 раза, и его значение меняется с 1 на 2 или с 2 на 1 (удвоенный остаток 2 равен 4, что аналогично остатку 1). При уменьшении в 2 раза ситуация аналогичная, обратная рассмотренным примерам с умножением.

Мы рассмотрели все возможные случаи. Получается только чередование чисел с остатками ... 1, 2, 1, 2 ... Поскольку число 2015 нечётное, то в конце встречаются два числа с одинаковыми остатками и преобразовать одно число в другое без изменения остатка разрешёнными условием задачи методами невозможно. Налицо противоречие.